スウェーデンで免許証を取得するとEUの免許証を取得することになるので、
ドイツやフランス、デンマークなどのEU加盟国でもその免許証で運転することができます。
逆に言うと、EUの免許証を持っていればスウェーデンでも運転できるということ。
私は日本の普通自動車免許を持っていますが、日本の免許証ではこちらでは運転できません。（一応、EU国外で取得した有効な運転免許証を持っていれば一年間に限って運転できるようですが）
幸いなことに、日本の免許証を持っている人（なおかつスウェーデンの居住許可がある人）は、スウェーデンでその免許証をEUの免許証に「交換（書換）」することができます。
細々した手続きが多く、また多少の費用がかかりますが、技術や筆記テストなしでEUの免許証に書き換えることができます。
書換プロセスはこんな流れでした。
※2016年9月～2017年1月時点での情報・手続きの流れです。
①在瑞日本大使館より日本の免許証の翻訳（自動車運転免許証抜粋証明）をもらう
事前に大使館に電話してプロセスを確認した後、大使館ホームページの申請フォームをダウンロード・記入し、日本の免許証、カード型の居住許可証（Uppehållstillstånd)とパスポートの原本、代理人の委任状を添付してREK（レーク：書留のようなもの）で大使館に郵送申請しました。
翻訳は大体一週間ほどで出来上がるとのことだったのですが、大使館に本人もしくは代理人が直接受け取りに行って、手数料もその場で現金で支払わなければいけない、と伝えられました。私の場合はウプサーラに住んでいる友人を代理人にして、代わりに受け取り・支払いをしてもらいました。
手数料は140krでした。
②Transportstyrelsen（交通局）のホームページから書換申請フォームを取り寄せる
「Ansök om utbyte av utländskt körkort」という免許証書換申請フォームを取り寄せます。
ホームページ上で取り寄せ申請をした後、2～3日後に郵送で書換申請フォームが届きました。
フォームには申請時に添付すべき書類が明記されています。
③TransportstyrelsenのホームページからHälsodeklarationをダウンロード・記入
自分の健康状態（大きな病気をしたことがないか、薬を飲んでいるかなど）をチェックするフォームです。
自分で記入しますが、私は眼鏡屋で視力検査をしたときに眼に関する項目をついでに記入してもらいました。（乱視なのか自分でもよく分からなかったため）
④街の眼鏡屋（Synsamなど）で視力検査をし、視力証明書をもらう
ドロップインでも、運転免許証用に視力検査をしたいと伝えると検査できます。
料金は100krでした。
⑤上記の書類とほかに必要な書類・コピーなどをまとめてTransportstyrelsenに送る
免許証の翻訳、書換申請フォーム、Hälsodeklaration、視力証明書、Personbevis（Skatteverket：税務庁からもらえます。ネットで取り寄せ申請をすると、数日後に郵送されてきます。私の場合は以前取り寄せたものがあったので、それを使いました）、日本の免許証原本、パスポートのコピーをTransportstyrelsenにREKで送りました。
（もしかしたら、居住許可証のコピーも送ったかもしれません）
⑥書換申請手数料の支払いと、最寄りのTrafikverketで写真撮影＆サインを登録
送付から約一週間後、Transportstyrelsenから書換申請手数料の振込用紙と共に「運転免許証の書換申請を受け付けましたよ」という手紙が来ました。
文面に最寄りのTrafikverket（別の交通局）に行って免許証用の写真撮影とサイン登録をしなさい、とあるので、早速手紙を受け取った次の日に済ませました。
書換申請手数料は150kr。
写真撮影には80krかかりました。（これはその場では支払わず、後日、手数料の振込用紙が自宅に届きました）
受付の人には大体一週間くらいで免許証が出来上がるよ、と伝えられました。
⑦書留で運転免許証が届くので、受け取りに行く
Trafikverket訪問後、一週間で「書留が来ているから取りにきなさい」という手紙が郵便局から届きました。
指定のPostombud（郵便物取り扱い所）に有効なIDとその手紙を持って受け取りに行き、晴れてEUの運転免許証への書換が終了しました！
ここまでのプロセスで、トータル1.5ヶ月～2ヶ月くらいです。
⑧日本の免許証原本が返還される（はず）
日本大使館のホームページにもありますが、書換に使った日本の運転免許証は申請者本人に返還されず、日本大使館に返還されます。
大使館が返還を希望するか否かの旨をこちらに連絡してくれるとのことです。いつ頃になるかは分かりませんが……。
現在、日本の免許証が手元に戻ってくるのを待っている次第です。
※追記（2017-05-21） 3月末に免許証が返還されました！大使館から電話があったので、郵送で送ってくださいとお願いしました。
参照・リンク
Driving license from a non-EU country （2017/01/29閲覧）
Driving licence recognition and validity （2017/01/29閲覧）
運転免許証に係る手続きについて－在瑞日本大使館 （2017/01/29閲覧）
自動車運転免許抜粋証明－在瑞日本大使館 （2017/01/29閲覧）Körkort från länder utanför EES （2017/01/29閲覧）